💡 توضیح اصطلاحات 💡
📚- پاره‌خط: بخشی از یک خط که بین دو نقطه قرار دارد.
- ترکیب: روشی برای انتخاب k شیء از n شیء بدون در نظر گرفتن ترتیب.
- فاکتوریل (n!): حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت کوچکتر یا مساوی n. به عنوان مثال، 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
یک خط شامل 6 نقطه است. اگر بخواهیم تمام پاره‌خط‌های ممکن را بین این نقاط رسم کنیم، چند پاره‌خط لازم است؟ 📏
برای تشکیل یک پاره‌خط به دو نقطه نیاز داریم. از بین 6 نقطه، می‌توانیم 2 نقطه را انتخاب کنیم تا یک پاره‌خط ایجاد شود. این مسئله در واقع یک ترکیب است.
نقطه اول می‌تواند با 5 نقطه دیگر یک پاره‌خط بسازد. نقطه دوم می‌تواند با 4 نقطه دیگر (به جز نقطه اول) یک پاره‌خط بسازد، و به همین ترتیب ادامه می‌دهیم.
بنابراین: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 پاره‌خط
| نقطه شروع | تعداد پاره‌خط‌های ممکن |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 2 |
| 5 | 1 |
| 6 | 0 |
در ریاضیات، تعداد راه‌های انتخاب k شیء از n شیء بدون در نظر گرفتن ترتیب، با استفاده از فرمول ترکیب محاسبه می‌شود:
در این مسئله، n = 6 (تعداد نقاط) و k = 2 (تعداد نقاط مورد نیاز برای تشکیل یک پاره‌خط).
بنابراین:
می‌توانیم مسئله را به این صورت نیز حل کنیم. هر نقطه می‌تواند با 5 نقطه دیگر یک پاره‌خط تشکیل دهد. بنابراین، در ابتدا 6 * 5 = 30 پاره‌خط داریم.
اما از آنجایی که هر پاره‌خط دو بار شمرده شده است (مثلاً پاره‌خط بین نقطه A و B همان پاره‌خط بین نقطه B و A است)، باید این عدد را بر 2 تقسیم کنیم.
بنابراین: 30 / 2 = 15 پاره‌خط
این مسئله یک مثال ساده از ترکیبات در ریاضیات است که در بسیاری از زمینه‌های دیگر نیز کاربرد دارد، مانند احتمال، آمار، علوم کامپیوتر و غیره.
درک مفهوم ترکیب برای حل مسائل مربوط به انتخاب‌ها و چیدمان‌ها بسیار مهم است. 🌟